"Dada la circunferencia x^2+y^2=1 y el punto P(m,n) vamos a calcular una de l~
as tangentes a la circunferencia."

"La pendiente ser  p"

y=n+p*(x-m)

x^2+y^2-1=0

;Sub(#4)
x^2+(n+p*(x-m))^2-1=0

;Simp(User)
x^2*(p^2+1)+2*p*x*(n-m*p)+m^2*p^2-2*m*n*p+n^2-1=0

SOLVE(x^2*(p^2+1)+2*p*x*(n-m*p)+m^2*p^2-2*m*n*p+n^2-1=0,x)

;Simp(#7)
[x=(SQRT(-m^2*p^2+2*m*n*p-n^2+p^2+1)+p*(m*p-n))/(p^2+1),x=(p*(m*p-n)-SQRT(-m^~
2*p^2+2*m*n*p-n^2+p^2+1))/(p^2+1)]

-m^2*p^2+2*m*n*p-n^2+p^2+1=0

SOLVE(-m^2*p^2+2*m*n*p-n^2+p^2+1=0,p)

;Simp(#10)
[p=(SQRT(m^2+n^2-1)+m*n)/(m^2-1),p=(SQRT(m^2+n^2-1)-m*n)/(1-m^2)]

"ESTA ES LA ECUACION DE UNA DE LAS TANGENTES"

;Sub(#3)
y=n+(SQRT(m^2+n^2-1)+m*n)/(m^2-1)*(x-m)

"**************************************"

"Si (m,n) es punto de la elipse, se trata de hallar la otra intersecci¢n con ~
la elipse"

"En coordenadas param‚tricas m=a(1-t^2)/(1+t^2), n=b2t/(1+t^2)"

[a*(1-t^2)/(1+t^2),b*2*t/(1+t^2)]

"Tomamos una recta gen‚rica que pasa por este punto y hallamos la otra inters~
ecci¢n"

y=b*2*t/(1+t^2)+j*(x-a*(1-t^2)/(1+t^2))

x^2/a^2+y^2/b^2-1=0

;Sub(#20)
x^2/a^2+(b*2*t/(1+t^2)+j*(x-a*(1-t^2)/(1+t^2)))^2/b^2-1=0

;Simp(#21)
(x^2*(t^2+1)^2*(a^2*j^2+b^2)+2*a^2*j*x*(t^2+1)*(a*j*(t^2-1)+2*b*t)+a^2*(t^2-1~
)*(a^2*j^2*(t^2-1)+4*a*b*j*t+b^2*(1-t^2)))/(a^2*b^2*(t^2+1)^2)=0

x^2*(t^2+1)^2*(a^2*j^2+b^2)+2*a^2*j*x*(t^2+1)*(a*j*(t^2-1)+2*b*t)+a^2*(t^2-1)~
*(a^2*j^2*(t^2-1)+4*a*b*j*t+b^2*(1-t^2))=0

SOLVE(x^2*(t^2+1)^2*(a^2*j^2+b^2)+2*a^2*j*x*(t^2+1)*(a*j*(t^2-1)+2*b*t)+a^2*(~
t^2-1)*(a^2*j^2*(t^2-1)+4*a*b*j*t+b^2*(1-t^2))=0,x)

;Simp(#24)
[x=a*(1-t^2)/(t^2+1),x=-a*(a^2*j^2*(t^2-1)+4*a*b*j*t+b^2*(1-t^2))/((t^2+1)*(a~
^2*j^2+b^2))]

"Aqu¡ tenemos las dos soluciones para x, una el punto que tenemos"

;Sub(#19)
y=b*2*t/(1+t^2)+j*(-a*(a^2*j^2*(t^2-1)+4*a*b*j*t+b^2*(1-t^2))/((t^2+1)*(a^2*j~
^2+b^2))-a*(1-t^2)/(1+t^2))

;Simp(#27)
y=2*b^2*(a*j*(t^2-1)+2*b*t)/((t^2+1)*(a^2*j^2+b^2))-2*b*t/(t^2+1)

FACTOR(y=2*b^2*(a*j*(t^2-1)+2*b*t)/((t^2+1)*(a^2*j^2+b^2))-2*b*t/(t^2+1),Rati~
onal,y)

;Simp(#29)
y=-2*b*(a^2*j^2*t+a*b*j*(1-t^2)-b^2*t)/((t^2+1)*(a^2*j^2+b^2))

"Aqu¡ arriba esta la y correspondiente"

"******************************"

"La pendiente que habiamos hallado para la tangente a la circunferencia, la j~
 es ((û(m^2 + n^2 - 1) + mún)/(m^2 - 1))"

(SQRT(m^2+n^2-1)+m*n)/(m^2-1)

"es decir"

;Sub(#34)
(SQRT((a*(1-t^2)/(1+t^2))^2+(2*b*t/(1+t^2))^2-1)+a*(1-t^2)/(1+t^2)*(2*b*t/(1+~
t^2)))/((a*(1-t^2)/(1+t^2))^2-1)

;Simp(#36)
((t^2+1)*SQRT(a^2*(t^2-1)^2+4*b^2*t^2-(t^2+1)^2)+2*a*b*t*(1-t^2))/(a^2*(t^2-1~
)^2-(t^2+1)^2)

"Substituimos en"

x=-a*(a^2*j^2*(t^2-1)+4*a*b*j*t+b^2*(1-t^2))/((t^2+1)*(a^2*j^2+b^2))

y=-2*b*(a^2*j^2*t+a*b*j*(1-t^2)-b^2*t)/((t^2+1)*(a^2*j^2+b^2))

"Resulta"

;Simp(User)
x=-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*SQRT(a^2*(t^2-1)^2+4*b^2*t^2-(t^2+1)^2)+a^4*(b^2-1)*(t^~
2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*~
a^3*b*t*(t^2-1)*SQRT(a^2*(t^2-1)^2+4*b^2*t^2-(t^2+1)^2)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(~
t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)

;Simp(User)
y=-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*SQRT(a^2*(t^2-1)^2+4*b^2*t^2-(t^2+1)^2)-a~
^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*~
t*(t^2-1)*SQRT(a^2*(t^2-1)^2+4*b^2*t^2-(t^2+1)^2)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)~
^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)

"Ya tenemos el otro punto de inters de la tangente desde el punto generico de~
 la elipse"

"*******************************************"

"Ahora se trata de trazar desde este punto de la elipse la otra tangente a la~
 circunferencia"

"distinta de la que ya tenemos y hallar su intersecci¢n con la elipse. Despu‚~
s igualamos"

"este punto al punto inicial y eliminamos la t. De aqu¡ resulta una expresi¢n~
 en a,b que es"

"la condici¢n para que elipse y circunferencia est‚n en posici¢n de Poncelet"

"Parece claro que si se da esta situaci¢n, entonces la situaci¢n de Poncelet ~
(cierre del tri ngulo) es gen‚rica."

"Falla el razonamiento de alg£n modo?"

"CONTINUAR"

"Llamamos al radical que va colgando r=û(a^2ú(t^2 - 1)^2 + 4úb^2út^2 - (t^2 +~
 1)^2)"

"Queda"

x=-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*r+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1~
)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*~
(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)

y=-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*r-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^~
2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1~
)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)

"Recuerda ahora. Seg£n las cuentas de arriba, si (m,n) es un punto, las dos t~
angentes"

"a la circunferencia desde ‚l tienen las dos pendientes que siguen"

[p=(SQRT(m^2+n^2-1)+m*n)/(m^2-1),p=(SQRT(m^2+n^2-1)-m*n)/(1-m^2)]

"Podemos sustituir"

;Sub(#59)
[p=(SQRT((-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*r+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4~
+4*t^2+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*~
(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3))~
^2+(-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*r-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1~
)^2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2~
-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3))^2-1)+(-a*(4~
*a*b*t*(t^2+1)*r+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^2+~
1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)~
^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3))*(-2*b*(a*b*(a^~
2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*r-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^2-4*b^2*t^2)+b^~
2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)~
*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)))/((-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*r+a^4~
*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t~
^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^~
2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3))^2-1),p=(SQRT((-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*~
r+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-~
1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*~
(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3))^2+(-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*~
(t^2-1)*r-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2~
)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-~
4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3))^2-1)-(-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*r+a^4*(b^2-1)*(~
t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(~
4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t~
^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3))*(-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*r-a^4*t*(~
b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2~
-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^~
2)-b^2*(t^2+1)^3)))/(1-(-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*r+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^~
2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*~
r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b~
^2*(t^2+1)^3))^2)]

"Pero parece que no va a ninguna parte. M s de 40 minutos simplificando y..."

"**********************************"

"Otra forma. Tenemos el punto. Donde pone r ponemos -r y tenemos el otro punt~
o de la elipse"

"Los unimos los dos y expresamos que esta recta es tangente a la circunferenc~
ia. Esto"

"deber¡a dar una condici¢n entre a yb para que se cierre el tri ngulo que no ~
depende de t."

"Esto demostrar¡a que si se cierra para un punto se cierra para todos."

"Este es el punto"

x=-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*r+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1~
)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*~
(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)

y=-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*r-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^~
2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1~
)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)

"Substitu¡mos r por -r y obtenemos el otro punto"

;Sub(#69)
x=-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*(-r)+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^~
2+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)*(t~
^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)

;Sub(#70)
y=-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*(-r)-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+~
1)^2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*~
(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)

"Ahora tomamos la recta que pasa por estos dos puntos"

(y-(-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*(-r)-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^~
2+1)^2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1~
)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)))*(-a*~
(4*a*b*t*(t^2+1)*r+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^~
2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-~
1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)-(-a*(4*a*b*t*~
(t^2+1)*(-r)+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^2+1)^2~
)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^~
2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)))-(-2*b*(a*b*(a^~
2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*r-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^2-4*b^2*t^2)+b^~
2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)~
*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)-(-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t~
^2-1)*(-r)-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^~
2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(~
t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)))*(x-(-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*(-r)+a^4*(b^~
2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1~
)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2~
*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)))=0

FACTOR((y-(-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*(-r)-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2~
*t*((t^2+1)^2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)~
*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)~
))*(-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*r+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2~
+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1~
)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)-(-a*(4~
*a*b*t*(t^2+1)*(-r)+a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t~
^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(~
t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)))-(-2*b*(~
a*b*(a^2-1)*(t^2+1)*(t^2-1)*r-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^2-4*b^2*~
t^2)+b^2*t*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*r-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*~
(t^2+1)*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)-(-2*b*(a*b*(a^2-1)*(t^~
2+1)*(t^2-1)*(-r)-a^4*t*(b^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*t*((t^2+1)^2-4*b^2*t^2)+b^2*t*(~
t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)*(~
2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)))*(x-(-a*(4*a*b*t*(t^2+1)*(-r)+~
a^4*(b^2-1)*(t^2-1)^3+a^2*(1-t^2)*(2*b^2*(t^4+4*t^2+1)-(t^2+1)^2)+b^2*(t^2-1)~
*(t^2+1)^2)/(4*a^3*b*t*(t^2-1)*(-r)-a^4*(b^2+1)*(t^2+1)*(t^2-1)^2+a^2*(t^2+1)~
*(2*b^2*(t^4-4*t^2+1)+(t^2+1)^2)-b^2*(t^2+1)^3)))=0,Trivial,x,y)

"Parece que tampoco es capaz de simplificar en un tiempo razonable. Tal vez M~
ATHEMATICA"